概述
代数学基本是本科阶段所接触到的第一门从最基础的概念建构开始, 就有着多种截然不同讲法的数学分支.
与分析学和概率论不同，自线性代数学开始的近代代数学很难说有一个统一的发源之处, 即使是同一门课, 其中所陈述的内容也多发源于完全不同的问题. 而关于"究竟何为代数", 不同的学者理解亦多有分歧. 以线性代数和近世代数为例, 至少有四种不同的视角来关心这一学科:
- 结构倾向: 即倾向于谈论那些统一代数学的结构语言, 像是空间与映射、多项式、Jordan 标准型、群环域、模、泛性质、函子等等代数结构.
- 几何倾向: 如 Erlangen 纲领所言, 现代几何学可以大致视为研究群作用下不变量的学问. 如果以几何的倾向去谈论这门课, 也许会更关注空间中的变量, 着重谈向量、子空间、投影、二次型、零点集、簇之类的结构. 所遵循的核心即是空间中的变换.
- 计算倾向: 矩阵理论除了作为纯粹的抽象对象, 在现实问题的解决中亦大展身手. 矩阵消元、行列式、最小二乘法、酉矩阵、格基约化、Gröbner 基等等内容为实际问题的解决提供了可靠而泛用的方法. 在这里, "可操作的算法"是一切概念构建的目的.
- 工程倾向: 这则会引入比计算倾向更多的现实问题, 展示代数学的诸多用处, 如: 线性系统、数据拟合、图、信号、最优化、布尔代数. 即围绕"将现实问题代数化"而开展.
不同的讲法不仅是内容选择上不同, 在证明同一个定理、传递的数学精神之间亦有分别. 或许可以说, 即使他们都在谈论同一个对象, 所使用的语言系统却几乎完全不同.
只采取一种视角必有缺陷, 因此许多书籍会采取博采众家之长的方式来解决这样的问题. 然而这却可能导致视角切换带来的困惑. 以我的经验来说, 认清自己的困惑是视角不同带来的, 有意识地切换语言, 对消解困惑有着明显的作用.
这份笔记所采用 / 参考的教材会有:
- 李文威《代数学讲义》（注：并非《代数学方法》）
- 谢启鸿、姚慕生《高等代数学》
- 姚慕生《抽象代数学》
也就是说, 以结构主义的视角为主, 并尽量利用经典讲法的教材陈述一些具体的对象以补足缺失的直观. 我的水平很可能不够, 但我至少希望如此……
本笔记是对李文威教材的补充, 因此书上所陈述的内容, 除非有必要, 否则不会再在笔记中陈述.