§1.1 极限
参考为陈天权 3.1, 3.2 两小节, 以及于品的讲义.
文章中将有一部分陈述是从两者的陈述中抄来的. 亦有相当一部分是笔者自己的陈述.
序列极限
我们熟知, 实数列的极限有如下定义.
我们称实数列 \(\{a_n\}\) 在 \(n\rightarrow \infty\) 时趋于(或收敛于)极限 \(\alpha\), 当且仅当
写作更常见的形式, 即
我们称实数列 \(\{a_n\}\) 在 \(n\rightarrow \infty\) 时趋于(或收敛于)极限 \(\alpha\), 当且仅当
更改前后的定义在 \(\mathbb R\) 上显然是等价的, 但后者想要延拓至 \(\mathbb C\) 上只需将定义上的 \(\mathbb R\) 改成 \(\mathbb C\) 即可——绝对值在复数上的自然推广是我们所熟知的模长.
选择定义时挑选那些更便于推广的总是好的.
Question?
极限(看起来)理应是一个数列自身内蕴的性质, 但我们定义一个数列收敛, 即有极限时, 却需要引入一个预知的实数 \(\alpha\).
自然的, 我们应当考虑如何内蕴的考虑极限, 有下列定理:
我们称实数列 \(\{a_n\}\) 在 \(n\rightarrow \infty\) 时收敛, 当且仅当
我们称这是极限收敛的柯西条件.
先证必要性.
若实数列 \(\{a_n\}\) 收敛, 也就是说对于任意 \(\frac{\epsilon}{2} > 0, \exists N \in \mathbb N, \text{s.t.} \forall n\ge N, |a_n - \alpha| < \frac{\epsilon}{2}\)
熟知对于实数 \(a, b\), 有 \(\lvert a + b\rvert \le \left \lvert \lvert a\rvert + \lvert b\rvert \right \rvert\), 此即所谓三角不等式.
即 \(\forall i, j \ge N\) 有 \(\lvert a_i - a_j\rvert \le \lvert \lvert a_i - \alpha\rvert + \lvert \alpha - a_j \rvert \rvert < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon\).
然后证充分性——我们将用到习题中会证明的 Bolzano-Weierstrass Theorem.
先理清大致的想法: 仅仅使用柯西的条件我们没办法把极限值 \(\alpha\) 声明出来, 所以我们必须考量一个其他的结构, 使其收敛, 如此得到 \(\alpha\). 然后再将原数列中的项与子列中的项进行比较.
Bolzano-Weierstrass Theorem 言述了"有界序列必有收敛子列", 那么想办法让序列有界, 取出其子列, 就可以得到一个 \(\alpha\). 我们只需再证明这个子列收敛的 \(\alpha\) 是原数列的极限即可, 由于柯西条件, 这看起来是非常可能的. 接下来实现我们的想法.
设 \(\{a_n\}\) 为满足柯西条件的数列. 今设我们取 \(\epsilon = 1\), 这里可以是任何正实数.
也就是说 \(\exists N, \forall i, j\ge N, \lvert a_i - a_j\rvert < 1\).
不妨取 \(i=N\), 这便是说 \(\forall j\ge N\), 总有 \(\lvert a_N - a_j\rvert \le 1\), 即 \(\forall j\ge N, a_j \in (A - \epsilon, A + \epsilon)\).
由于有限项的部分必然是有界的, 这正是说原数列必有界. 如此, Bolzano-Weierstrass Theorem 保证我们必能抽出一个子列 \(\{a_{n_k}\}\) 使得其收敛, 设其极限为 \(\alpha\).
任取一 \(\epsilon > 0\), 有 \(\{a_n\}\) 满足柯西条件, 此即 \(\exists N_1 \in \mathbb N, \text{s.t.} i, j\ge N_1, \lvert a_i - a_j\rvert < \frac{\epsilon}{2}\).
知所取子列收敛, 故对于刚才所取 \(\epsilon\), 又有 \(\exists K \in \mathbb N, \text{s.t.} \forall k > K, \lvert a_{n_k} - \alpha\rvert < \frac{\epsilon}{2}\).
取 \(k\) 同时满足 \(k> K \land n_k > N_1\), 依次便有对 \(\forall n>N_1\), 必满足:
依此, 我们便证明了 \(\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = \alpha\).
满足柯西条件的数列, 称之为柯西列, 上述事实正是说一个实数列收敛当且仅当它是柯西列.
从直观上, 这当然是等价的. "所有点到某个位置都足够近", 当然和"所有点两两之间的距离都足够近"说的是同一回事, 让我们稍后再证明它.
既然用数列自身内蕴的性质表示"数列收敛"的尝试成功了, 那么能否同样的, 只使用数列自身的性质表示"数列的极限"到底是什么, 而无需提前预知极限为 \(\alpha\) ?
经过简单的尝试, 很容易发现: 在只使用数列本身信息的情况下, 似乎没有某种简单的手段可以简易的表示一个数列的极限是什么, 这促使我们去考虑它的反面. 而有如下的事实表明, 数列的极限并不能被简单的计算出:
即使数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(\forall n, a_n \in \mathbb Q\) 且所有的 \(a_n\) 都可计算, \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_n\) 仍然可能是不可计算的.
设 \(K\) 是停机问题集合, 即 \(K = \{i : 第 i 个图灵机停机\}\), 此处 \(i\) 从 \(0\) 始.
考量数列:
此处选择三进制小数是为了避免二进制下 \(0.11111\ldots\) 这样的非规范小数带来的混淆.
显然 \(a_n\) 单调递增, 有理且有上界. 因此它在 \(\mathbb R\) 中收敛. 又通过模拟执行可以计算出每一个图灵机是否在前 \(n\) 步停机, 因此每个 \(a_n\) 可计算.
假若极限 \(\alpha = \lim_{n\rightarrow \infty} a_n\) 为可计算实数, 那么我们就可以用充分高的精度计算 \(\alpha\) 得到 \(K\), 从而判定任意图灵机是否停机, 这与停机问题不可判定矛盾, 故 \(\alpha\) 不可计算.
这说明了我们引入 \(\alpha\) 这一行为的必要性.
完备与否
先前我们谈及, 在 \(\mathbb R\) 内, 极限收敛的原始定义与 Cauchy 收敛准则所给出的定义是等价的. 而于品的讲义中提到:
"...可见, 一个点的序列能否收敛与这个点列所生活的空间的性质密切相关."
围绕这一点, 应当可以展开进一步的论述.
考察实数列
也就是 \(\sqrt 2 - 1\) 的十进制小数点前 \(n\) 位. 在 \(\mathbb R\) 中此数列的极限显然为 \(\sqrt 2 - 1\), 而它的每一项都在 \(\mathbb Q\) 中.
在 \(\mathbb Q\) 中, 显然不存在 \(\sqrt 2 - 1\) 这个数, 因此按照极限的原始定义, 此数列不存在极限. 而若我们对其使用柯西审敛准则, 这数列又显然是一柯西列. 问题何在? 在于极限不是数列本身的性质, 它同时依赖于数列本身, 数列所置身的空间, 以及度量结构. 即, 它还与数列所处的距离空间 \((X, d)\) 有关.
极限的直接定义强度要高于柯西收敛准则给出的定义, 只有在完备的度量空间中, 两个定义才相等. 或者说, 完备的定义就是
设域 \(F\) 是一个带有距离 \(d\) 的域, 则 \(F\) 完备 \(\iff\) \(F\) 中的每一个柯西列都有极限.
我们之所以会认为它"有极限, 只是不在 \(\mathbb Q\) 里", 则是因为我们过于熟悉 \(\mathbb R\), 以至于将其当作了思考的基底.
回首 Cauchy 收敛准则的证明, 其中我们用到了 Bolzano-Weierstrass Theorem, 而 Bolzano-Weierstrass Theorem 的证明又需要单调有界序列必有极限这一事实, 这看似平凡, 却是确界原理所保证的! 对于不完备的域, 并不存在这一事实. 这警示我们, 应当时时小心, 有哪些证明偷偷挪用了我们习以为常但并不一定总是成立的假设.
习题
陈天权的习题.